Mathématiques 1re S et E by Christian Artigues, Jean-Marie Bouscasse, Marie-Claude

By Christian Artigues, Jean-Marie Bouscasse, Marie-Claude Chaumet, Antoine Gouteyron, Bernard Pinet

Desk des matières :

Chapitre 1. Activités numériques et algébriques. Systèmes
    I. Calcul numérique
    II. ameliorations d’écritures. Équations
    III. L’ordre dans ℝ
    IV. Systèmes
    Exercices

Chapitre 2. Polynômes et moment degré
    I. Introduction
    II. Généralités sur les fonctions polynômes
    III. Racine d’un polynôme. Factorisation
    IV. Le moment degré
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre three. Fonctions numériques. Généralités. Courbes représentatives
    I. Introduction
    II. Généralités (rappels)
    III. Courbes représentatives et propriétés géométriques
    IV. Fonctions associées et courbes représentatives
    V. Compléments
    Exercices

Chapitre four. Fonctions numériques. adaptations, comparaison et approximation
    I. Introduction
    II. Fonction monotone sur un intervalle
    III. Majoration, minoration et comparaison de fonctions
    IV. Recherche d’extremums
    V. Approximation de fonction
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre five. Suites numériques. Exemples et généralités
    I. Introduction
    II. Généralités sur les suites
    III. Suites arithmétiques et géométriques
    IV. Compléments
    Exercices

Chapitre 6. Suites numériques. Comportement à l’infini
    I. Introduction
    II. Suites convergentes vers 0
    III. Suites convergentes
    IV. Suites divergentes vers +∞
    V. Quelques exemples fondamentaux
    VI. Quelques problèmes essentiels
    VII. Compléments
    Exercices

Chapitre 7. Limite et dérivation
    I. Introduction
    II. thought de limite
    III. Dérivation en un point
    IV. Dérivation sur un intervalle
    V. Dérivabilité des fonctions circulaires
    VI. Compléments
    VII. Tableau récapitulatif
    Exercices

Chapitre eight. purposes de l. a. dérivation
    I. Introduction
    II. version d’une fonction et recherche d’extremum
    III. Étude de fonctions
    IV. Bijection et équation
    V. Comparaison et encadrement de fonctions
    VI. Compléments
    Exercices

Chapitre nine. Quelques problèmes de l’analyse
    I. Résolution d’équations
    II. Trajet de durée minimale
    III. Une jauge pour une citerne
    Exercices

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Die Ringe Z, Z[i] sowie der Polynomring K[X] über einem Körper K sind als euklidische Ringe auch Hauptidealringe. Als nächstes wollen wir Primfaktorzerlegungen in Hauptidealringen studieren. Wir sagen, daß in einem Integritätsring R ein Element x das Element y teilt, in Zeichen x I y, wenn es ein e E R mit cx = y gibt. Äquivalent zu dieser Gleichung ist y E (x). Ist x kein Teiler von y, so schreibt man xfy. Definition 4. Es sei Rein Integritätsring und pER eine von 0 verschiedene Niehteinheit. (i) p heißt irreduzibel, falls für jede Zerlegung p = xy mit x, y E R gilt: x E R* oder y E R*.

Es seien m, nE N - {O}. Man zeige, daß die Gruppen Z/mnZ und Z/mZ x ZjnZ genau dann isomorph sind, wenn m und n teilerfremd sind. Insbesondere ist ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch. 5. Es sei cp: zn --+ Zn ein Endomorphismus des n-fachen Produkts der additiven Gruppe Z, wobei n E N. Man zeige: cp ist genau dann injektiv, wenn zn j im cp eine endliche Gruppe ist. ) 2. Ringe und Polynome Vorbemerkungen Ein Ring ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe R, auf der zusätzlich eine Multiplikation definiert ist, wie etwa beim Ring Z der ganzen Zahlen.

Man betrachte K 2 = K x K als ringtheoretisches Produkt sowie auch als K- Vektorraum. Man vergleiche die Begriffe Unterring, Ideal und Untervektorraum am Beispiel dieses Ringes. 4. Man berechne folgende Ideale in Z, indem man ein erzeugendes Element angibt: (2) + (3), (4) + (6), (2) n (3), (4) n (6). 5. Sei R ein Ring, X eine Menge und Y c X eine Teilmenge. Man untersuche, welche der folgenden Teilmengen des Rings R X der Abbildungen X Unterring bzw. ein Ideal bilden: MI = {f E R X ; f M2 = {f E Ma = {f M4 RX ; E RX ; = {f E RX ; --+ Reinen ist konstant auf Y}, f(Y) = O}, f(y) # 0 für alle y E Y}, f(y) = 0 für fast alle y E Y}.

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