Algebra by Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

By Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die ber?hmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Aufl?sung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausf?hrlich erl?utert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.
Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das sicherlich bald jedem Algebrastudenten unentbehrlich sein wird.

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Elementary Matrices And Some Applications To Dynamics And Differential Equations

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Solving Polynomial Equation Systems IV: Volume 4, Buchberger Theory and Beyond

During this fourth and ultimate quantity the writer extends Buchberger's set of rules in 3 assorted instructions. First, he extends the idea to workforce earrings and different Ore-like extensions, and gives an operative scheme that enables one to set a Buchberger idea over any potent associative ring. moment, he covers related extensions as instruments for discussing parametric polynomial structures, the idea of SAGBI-bases, Gröbner bases over invariant jewelry and Hironaka's thought.

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Man pruft leicht nach, daB die Zuordnungen R R ~ a ~ 'if-I (b) f-----+'if(a) C f----t b c Rim, Rim, eine Bijektion definieren zwischen den Idealcn a von R mit mea C R und den Idealen b C Rim. Hieraus ist die behauptete Aquivalenz unmittelbar ersic:htlich: Alternativ kann man die Behauptung auch in explilliter Weise verifillieren. , wenn der Restklassenring Rim nic:ht der Nullring ist. 1st nun m ein echtes Ideal in R, so ist m genau dann maximal, wenn fur a E R-m stets m+Ra = R gilt, wenn es also zu jedem solchen a Elernente r E R und m Emmit ra + m = 1 gibt.

Wir haben gerade gesehen, daB unter der Bedingung (i) jedes irreduzible Element prim ist, daB also irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen prim D sind. Die Umkehrung hierzu ergibt sich wiederum aus Bemerkung 5. Die Aussage von Satz 7 k6nnen wir nun neu formulieren: Korollar 11. Jeder Hauptidealring ist faktorieZZ. K6rper sind aus trivialen Grtinden faktoriell. Aber auch die Ringe Z, Z[i] sowie der Polynomring K [X] tiber einem K6rper K sind als euklidische Ringe Hauptidealringe und damit faktoriell.

Das von X erzeugte Hauptideal bcsehreibt sieh dureh das von 2 erzeugte Hauptidcal durch (2) = {LaiXi E Z[X]; ai ist gerade flir alle i}. Da es in Z [X] keine Niehteinheit gibt, welche sowohl 2 als aueh X als Vidfaches besitzt, kann man lcieht sehen, daB (2,X) = {LaiXi E Z[X] ; ao ist gerade} ein Ideal in Z[X] ist, welches kein Hauptideal darstellt. ' Z [X] kein Hauptidealring. Aufgaben (01, ... ,am) und b = (b 1 , ... ,iJ n ) Ideale in einern Ring R. Man gebe Erzeugendensysteme fur' die Idcale a + b smJJie a· b an und diskutier'e ouch das Ideal an b.

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